백준 12865) 평범한 배낭

 

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12865번: 평범한 배낭

 

문제

이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.

한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.

준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

입력

첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다.

입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

출력

한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

 

 

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문제의 keyPoint

1. 배낭에 관한 문제
2. 최대 무게가 주어짐
3. 물건을 넣을 수 있는 최대 가치를 구함
4. 물건의 무게를 쪼갤 수 있는 조건이 없음

= 다이나믹 프로그래밍으로 풀자.

 

문제를 분석해보면,

 

1) 무게에 따라 배낭에 넣을 수 있는 지, 넣을 수 없는 지 판단하기 때문에 다이나믹 프로그래밍을 구현하기 위한 배열의 열의 길이는 최대 무게로 지정해야 한다.

 

2) 물건을 하나씩 집어넣기 때문에 행의 길이는 물건의 수만큼 지정해야 한다.

 

3) 점화식의 조건에 충족한다면 그때그때마다 가치의 값을 더해주면 되겠다.

 

4) 최종적으로 배열의 행의 끝, 열의 끝에는 최대 가치가 저장될 것이다.

 

 

 

 

해당 문제의 점화식은 다음과 같다.

 

 

 

 

점화식을 아무리 봐도 이해가 잘 되지 않는다면

직접 값을 삽입과 수정을 해나가면서 이해하는 것도 나쁘지 않다.

 

 

이해가 됐든 안됐든 -

예제에 나오는 입력, 출력을 기반으로 다이나믹 프로그래밍을 위한 배열을 구성해보자.

 

 

 

 

1. 먼저 dp 배열을 초기화한다.

i   /   j	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0
4	0	0	0	0	0	0	0	0

 

2. weight : 6, value = 13 // 점화식을 토대로 입력해본다.

i   /   j	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	13	13
2	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0
4	0	0	0	0	0	0	0	0

 

i=1 일 때,

 

(j는 +1씩) j가 6보다 작다면, i=0의 값을 그대로 대입한다.(dp[i-1][j])

 

j가 6보다 같거나 크다면, max(i=0일 때의 값(dp[i-1][j]=0, i=0 (i-1)이고 j+weight(13) = 13)을 대입

 

 

3. 말이 어려울 수 있다. 다음 i=2 일 때를 살펴보자.

i   /   j	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0 + 8	0 + 8	0 + 8	0 + 8	0	0	13	13
2	0	0	0	0	8	8	13	13
3	0	0	0	0	0	0	0	0
4	0	0	0	0	0	0	0	0

일단 j가 해당 무게보다 작은 건 바로 위의 값(i-1)을 그대로 옮기면 되고,

 

j가 같거나 크다면, 바로 위의 값(0) 과 j-weight(처음 : j=4, weight =4) 은 0+8 = 8 일 때, max는 8이다.

그래서 i=2, j=4일 때는 8이 추가된다.

 

j=6일 때는, 13과 8 중에서 max 값을 대입하므로 13이 삽입된다.

 

이를 반복하면,

 

i=3

i   /   j	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	13	13
2	0 + 6	0 + 6	0 + 6	0 + 6	8 + 6	8	13	13
3	0	0	0	6	8	8	13	14
4	0	0	0	0	0	0	0	0

 

i=4

i   /   j	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	13	13
2	0	0	0	0	8	8	13	13
3	0 + 12	0 + 12	0 + 12	6	8	8	13	14
4	0	0	0	6	8	12	13	14

 

결국, 최종 원하는 답은 dp[i][j] 에 최댓값이 존재함을 알 수 있다.

 

 

 

 

전체 코드는 다음과 같다.

 

import java.io.*
import kotlin.math.max

fun main() {
    val br = BufferedReader(InputStreamReader(System.`in`))
    val (n,k) = br.readLine().split(" ").map { it.toInt() }
    val arr = Array(n+1) {IntArray(k+1)}

    for(i in 1 until n+1) {
        val (w,v) = br.readLine().split(" ").map { it.toInt() }
        for(j in 1 until k+1) {
            if(j < w) {
                arr[i][j] = arr[i-1][j]
            } else {
                arr[i][j] = max(arr[i-1][j], arr[i-1][j-w] + v)
            }
        }
    }
    println(arr[n][k])
}